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Un cercle est une figure géométrique particulière définie par un ensemble de points à distance constante d'un centre… rien à voir avec le diamètre ! On lui associe couramment la constante Pi comme étant le rapport de la circonférence par le diamètre, à défaut de Tau (τ pour le grec « tornos ») qui serait pourtant bien plus pertinent[1].
Évidemment l'idée ne change rien sur le fond, mais il n'en demeure que nos choix semblent absurdes à bien des égards[2].
Le cercle trigonométrique a été pour moi la pierre angulaire où j'ai décroché des mathématiques. Impossible de comprendre (à défaut de mémoriser pour le restituer le jour du contrôle) le cercle et les valeurs lui étant associées, je sais seulement qu'un tour complet est égal à 2π ce qui aurait une équivalence avec des radians… C'est clairement flou.
Deux arcs de cercles concentriques mais de rayons différents ont des longueurs différentes, mais un même angle θ. Cette propriété spécifique à l'angle présente de multiples intérêts. Un radian est défini tel que θ = s / r, soit s la longueur de l'arc de cercle, et r le rayon du cercle. En considérant l'arc de cercle comme étant une part de la circonférence C alors on arrive naturellement à la formule θ = a(C/r) = aτ
Soit un cercle quelconque alors les radians permettent d'exprimer un angle tel que π/2 rad = 90° — Ignorons l'unité tout aussi arbitraire des degrés —, la longueur de l'arc de cercle étant égal à πr/2. Soit τ = 2π alors un angle de 90° correspondrait à τ/4 rad, et la longueur de l'arc de cercle de τr/4. C'est pas grand chose, mais déjà c'est plus clair pour moi que de pas avoir à garder en mémoire qu'un cercle est égal à 2π.
Un quart de cercle équivaut à un quart de cercle, équivaut à un angle droit !
Le sinus de ¼τ est égal à 1, de ½τ à 0, ¾τ à -1, et τ à 0. Idem, pour les cosinus. L'interprétation est significativement simplifiée.
L'aire d'un cercle est définie soit A = πr², une forme quadratique — Autrement dit un polynôme homogène de 2e degré — similaire à une distance d'un corps en chute libre (y = ½gt²), l'énergie potentielle d'un ressort (U = ½kx²), ou l'énergie cinétique (K = ½mv²). Toutes ces formules ont pour point commun d'être des intégrales. Dans notre cas dA = Cdr où C = τr, autrement dit A = ½τr². On retrouve la démonstration d'Archimède estimant l'aire d'un cercle au travers d'un triangle rectangle de base C et hauteur r soit A = ½Cr = ½τr².
Plus encore, la valeur de 2π apparaît dans de nombreuses formules élémentaires telles que celle pour les coordonnées polaires, la distribution normale, la transformation de Fourier, l'intégrale de Cauchy…
Ce point étant éclairci, les autres formules liées au cercle sont intuitives :
L'aire d'une sphère est égale à A = 2τr² par assimilation à la surface latérale d'un cylindre (A = C × h = τr × 2r) ;
Le volume d'une boule est égal à V = 2τr² × r / 3 par décomposition de la surface en pyramides (V = Bh / 3) partageant un même sommet.
Espérons qu'avec ça je m'en sorte un peu mieux en face de jardinières[3] circulaires, ou dans le cas de calculs de longueurs après avoir changé de potence[4].
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