Espérance mathématique

2022-12-04

Une des variables permettant de mesurer l’intérêt d’un jeu impliquant une ressource est l’espérance mathématique. C’est la valeur théorique obtenue lorsque l’un jeu est répété un grand nombre de fois. Bien qu’utile dans un cas simple, elle est limitée et ne peut être seul critère de décision.

Exemple simple

Soit le cas usuel d’un lancer de pièce non truquée, alors les chances de deviner la face de celle-ci sont de 50 %. Soit un gain de 1 en cas de réussite et une perte de 1 en cas de défaite alors l’espérance est théoriquement nulle :

0.5 × +1 + 0.5 × -1 = 0

Dans une situation équiprobable, c’est la valeur du gain et de la perte qui détermineront le signe de l’espérance et ainsi le résultat potentiel. Un gain inférieur aux pertes indiquerait un jeu qui répété ferait perdre de l’argent.

Paradoxe de St-Pétersbourg

Le paradoxe de St-Pétersbourg énoncé par N.Bernoulli est une des situations où l’espérance à elle seule ne permet pas de déterminer s’il faut prendre part à un jeu ou non – la seule motivation étant le gain d’argent. Dans ce jeu, la mise est doublée pour chaque essai réussi sans limite de lancers. La queston est de savoir de combien serait la mise initiale pour que le jeu soit équitable sans avantager aucun des partis. Autrement dit de savoir quel est le gain moyen attendu. En se basant uniquement sur l’espérance mathématique, le jeu serait gagant quelque-soit la mise initiale – à l’exception d’une somme infinie –, pour autant peu de gens y prendraient part et ce pour de multiples raisons jugées plus importantes que la simple espérance.